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            自然数平方和公式

            时间:2013-05-22 分类:数学公式 来源:书源网

            设S=1^2+2^2+....+n^2

            (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
            n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
            ...
            ..
            ...

            2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

            把上面n个式子相加得:(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

            所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = n(n+1)(2n+1)/6
             

            自然数平方和公式推导:
             

            S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为:

            S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中:

            22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)

            12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2

            = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2

            =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

            =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

            =4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)

            由(2)+ (3)得:S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)

            由(1)与(4)得:2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

            即:6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

                  = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

                  = n(2n2+3n+1)

                  = n(n+1)(2n+1)

                 S= n(n+1)(2n+1)/ 6

            亦即:S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)

            以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数。

            由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数。

            由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数。
             

            例题:
             

            下列各题中, 能用平方差公式的是( )
            A.(a-2b)(a+2b) B.(a-2b)( -a+2b)
            C.( -a-2b)( -a-2b) D. ( -a-2b)(a+2b)

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